Софт-Архив

Числовые img-1

Числовые

Рейтинг: 4.5/5.0 (1880 проголосовавших)

Описание

Числовые ряды

Числовые ряды

Первое упоминание и использование числового ряда, его понятие и структура, этапы и направления дальнейшего исследования. Задачи, приводящие к понятию числового ряда и те, в которых он использовался. Признак Даламбера и Коши, Маклорена и сравнения.

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже. Подобные документы

Изучение понятия числового ряда и его суммы. Особенности сходящихся и расходящихся рядов. Число e, как сумма ряда. Критерий Коши сходимости ряда. Алгебраические операции и сходимость. Ряды с неотрицательными членами. Интегральный признак Коши-Маклорена.

методичка [514,1 K], добавлен 26.06.2010

Исследование сходимости числового ряда. Использование признака Даламбера. Исследование на сходимость знакочередующегося ряда. Сходимость рядов по признаку Лейбница. Определение области сходимости степенного ряда. Сходимость ряда на концах интервала.

контрольная работа [131,9 K], добавлен 14.12.2012

Определение числового ряда, его основные свойства. Ряды геометрической прогрессии. Исследование на сходимость гармонического ряда. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница.

лекция [137,2 K], добавлен 27.05.2010

Рассмотрение особенностей сравнения рядов. Характеристика признаков сходимости Даламбера. Критерий Коши как ряд утверждений в математическом анализе. Анализ геометрической интерпретации интегрального признака. Способы определения сумы числового ряда.

контрольная работа [214,6 K], добавлен 01.03.2013

Основные понятия числового и знакопеременного ряда. Необходимые и достаточные признаки сходимости. Признак Лейбница. Исследование на абсолютную и условную сходимость ряда. Действия с суммой бесконечного числа слагаемых, расстановка скобок. Формула Эйлера.

курсовая работа [501,8 K], добавлен 12.06.2014

Определение условий сходимости положительного ряда и описание свойств гармонических рядов Дирихле. Изучение теорем сравнения рядов и описание схемы Куммера для вывода из нее признаков сравнения ряда. Вывод признаков сравнения Даламбера, Раабе и Бертрана.

курсовая работа [263,6 K], добавлен 14.06.2015

Условия и анализ заданий по математике: найти сумму ряда, область сходимости функционального ряда, исследовать ряд на сходимость, вычислить сумму ряда с точностью альфа, используя метод неопределённых коэффициентов, признак Даламбера и признак Лейбница.

контрольная работа [266,9 K], добавлен 27.12.2010

Определение степенного ряда. Теорема Абеля как определение структуры области сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора, Маклорена для функций. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. Приложения степенных рядов.

реферат [89,3 K], добавлен 08.06.2010

Числовой ряд - бесконечная последовательность чисел, соединенных знаком сложения. Сумма n первых членов ряда. Функция натурального аргумента. Свойства сходящихся и расходящихся рядов. Понятие и формула расчета n-ного остатка. Поиск суммы исходного ряда.

презентация [123,7 K], добавлен 18.09.2013

Описание признака сходимости числовых рядов Даламбера, решение задач на исследование сходимости. Формулировка радикального признака сходимости Коши знакоположительного ряда в предельной форме. Доказательство знакочередующихся и знакопеременных рядов.

реферат [190,9 K], добавлен 06.12.2010

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

числовой коши даламбер

Понятие бесконечных сумм фактически было известно ученым Древней Греции (Евдокс, Евклид, Архимед). Нахождение бесконечных сумм являлось составной частью так называемого метода исчерпывания, широко используемого древнегреческими учеными для нахождения площадей фигур, объемов тел, длин кривых и т.д. Так, например, Архимед для вычисления площади параболического сегмента (т.е. фигуры, ограниченной прямой и параболой) нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4.

Ряд, как самостоятельное понятие, математики стали использовать в XVII в. И. Ньютон и Г. Лейбниц применяли ряды для решения алгебраических и дифференциальных уравнений. Теория рядов в XVIII-XIX вв. развивалась в работах Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора, К. Маклорена, Л. Эйлера, Ж. Даламбера, Ж. Лагранжа и др. Строгая теория рядов была создана в XIX в. на основе понятия предела в трудах К. Гаусса, Б. Больцано, О. Коши, П. Дирихле, Н. Абеля, К. Вейерштрасса, Б. Римана и др.

Актуальность изучения данной проблемы обусловлена тем, что раздел математики, позволяющий решить любую корректно поставленную задачу с достаточной для практического использования точностью, называется теорией рядов. Даже если некоторые тонкие понятия математического анализа появились вне связи с теорией рядов, они немедленно применялись к рядам, которые служили как бы инструментом для испытания значимости этих понятий. Такое положение сохраняется и сейчас. Таким образом, представляется актуальным изучить числовые ряды, их основные понятия и особенности сходимости ряда.

1. История возникновения

1.1 Первое упоминание и использование числового ряда

Правила арифметики дают нам возможность определить сумму двух, трех, четырех и вообще любого конечного набора чисел. А если количество слагаемых бесконечно? Пусть это даже «самая маленькая» бесконечность, т.е. пусть число слагаемых счетно.

Нахождение бесконечных сумм являлось составной частью так называемого метода исчерпывания, широко используемого древнегреческими учеными для нахождения площадей фигур, объемов тел, длин кривых и т.д. Так, например, Архимед для вычисления площади параболического сегмента (т.е. фигуры, ограниченной прямой и параболой) нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4.

Почти две с половиной тысячи лет назад греческий математик и астроном Евдокс Книдский применял метод «исчерпывания» к нахождению площадей и объемов. Идея этого метода состоит в том, чтобы исследуемое тело разбить на счетное число частей, площади или объемы которых известны, а затем эти объемы сложить. Этот метод применяли и Эвклид, и Архимед. Естественно, полного и аккуратного обоснования метода в работах античных математиков не было. До этого нужно было пройти еще долгий двухтысячелетний путь, на котором были и блестящие откровения, и ошибки, и курьезы.

Вот, например, как рассуждал один средневековый богослов при доказательстве - не более и не менее - существования Всемогущего Бога.

Запишем в равновеликих величинах S как бесконечную сумму

S = 1010101010… (1)

«Заменим в правой части этого равенства каждый нуль на сумму 1+(-1)

S =1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+… (2)

Оставив в одиночестве первое слагаемое в правой части (2), объединим с помощью скобок второе слагаемое с третьим, четвертое с пятым и т.д. Тогда

S=1 + ((-1) +1) + ((-1) +1) +… = 1+0+0+… = 1.»

Начав с равенства S = 0, автор приходит к тому, что S = 1 и торжественно заканчивает:

«Если из нуля можно по желанию получить единицу, то допустимо и предположение о сотворении мира из ничего!»

Согласимся ли мы с таким рассуждением? Конечно, нет. С точки зрения современной математики ошибка автора состоит в том, что он пытается оперировать с понятиями, которым не дано определения (что это такое - «сумма бесконечного числа слагаемых»), и совершает преобразования (раскрытие скобок, перегруп-пировка), законность которых не была им обоснована.

Широко пользовались счетными суммами, не уделяя достаточного внимания вопросу о том, что же точно означает это понятие, крупнейшие математики XVII и XVIII веков - Исаак Ньютон (1642-1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716), Брук Тейлор (1685-1731), Колин Маклорен (1698-1746), Жозеф Луи Лагранж (1736-1813). Виртуозным мастерством обращения с рядами отмечался Леонард, Эйлер (1707-1783), вместе с тем он нередко признавал недостаточное обоснование используемых им приемов. В ста работах неоднократно встречаются предложения вроде такого «Мы обнаружили, что эти два бесконечных выражения равны, хотя и оказалось невозможным это доказать». Он предостерегает математиков от использования «расходящихся рядов», хотя сам не всегда заботился от этом, и лишь гениальная интуиция защищает его от неверных заключений; правда, и у него случаются «проколы».

К началу XIX века необходимость аккуратного обоснования свойств «счетных сумм» становится ясной. В 1812 году Карл Фридрих Гаусс (1777-1865) дает первый образец исследования сходимости ряда, в 1821 году наш хороший знакомый Огюстен Луи Коши (1789-1857) устанавливает основные современные принципы теории рядов.

1.2 Дальнейшее изучение числовых рядов. Четкая формулировка понятия числового ряда

Суммирование бесконечных геометрических прогрессий со знаменателем, меньшим 1, производилось уже в древности (Архимед). Расходимость гармонического ряда была установлена итальянским ученым Менголи в 1650 г. Степенные ряды появились у Ньютона (1665), который полагал, что степенным рядом можно представить любую функцию. У ученых XVIII века ряды постоянно встречались в вычислениях, но далеко не всегда уделялось внимание вопросу о сходимости. Точная теория рядов начинается с работ Гаусса (1812), Больцано (1817) и, наконец, Коши, где впервые дано современное определение суммы сходящегося ряда и установлены основные теоремы. 1821 году Коши публикует «Курс анализа в Политехнической королевской школе», имевший наибольшее значение для распространения новых идей обоснования математического анализа в первой половине XIX века.

«Рядом называют неограниченную последовательность количеств

получающихся один из других по определенному закону… Пусть

есть сумма n-первых членов, где n - какое-либо целое число. Если при постоянном возрастании значений n сумма неограниченно приближается к известному пределу S, ряд называется сходящимся, а этот предел-суммой ряда. Наоборот, если при неограниченном возрастании n сумма не приближается ни к какому определенному пределу, ряд будет расходящимся и не будет иметь суммы…» [Из первой части «Курса анализа в политехнической королевской школе» О. Коши (1821) <№5 4 т. III , c . 1 14 -1 16, перевод А.П. Юшкевича >]

1.3 Задачи, приводящие к понятию числового ряда и те, в которых он использовался

Быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепахи, если в начале движения черепаха находилась на некотором расстоянии впереди него. Действительно, пусть начальное расстояние есть а и пусть Ахиллес бежит в k раз быстрее черепахи. Когда Ахиллес пройдет расстояние а, черепаха отползет па а/k, когда Ахиллес пройдет это расстояние, черепаха отползет на a/, и т.д. т.е. всякий раз между состязающимися будет оставаться отличное от нуля расстояние.

В этой апории, помимо того же затруднения отсчитанной бесконечности, имеется и еще одно. Предположим, что в некоторый момент времени Ахиллес догонит черепаху. Запишем путь Ахиллеса

и путь черепахи

Каждому отрезку пути а/, пройденному Ахиллесом, соответствует отрезок пути a/ черепахи. Поэтому к моменту встречи Ахиллес должен пройти «столько же» отрезков пути, сколько и черепаха. С другой стороны, каждому отрезку а/, пройденному черепахой, можно сопоставить равный ему по величине отрезок пути Ахиллеса. Но, кроме того, Ахиллес должен пробежать еще один отрезок длины а, т.е. он должен пройти на единицу больше отрезков, чем черепаха. Если количество отрезков, пройденное последней, есть б, то получаем

«Стрела». «Стрела». Если время и пространство состоят из неделимых частиц, то летящая стрела неподвижна, так как в каждый неделимый момент времени она занимает равное себе положение, т.е. покоится, а отрезок времени и есть сумма таких неделимых моментов.

Эта апория направлена против представления о непрерывной величине - как о сумме бесконечного числа неделимых частиц.

«Стадион». Пусть по стадиону движутся по параллельным прямым равные массы с равной скоростью, но в противоположных направлениях. Пусть ряд. означает неподвижные массы, ряд - массы, движущиеся вправо, а ряд - массы, движущиеся влево (рис. 1). Будем теперь рассматривать массы. как неделимые. В неделимый момент времени проходят неделимую часть пространства. Действительно, если бы в неделимый момент времени некоторое тело проходило более одной неделимой части пространства, то неделимый момент времени был бы делим, если же меньше, то можно было бы разделить неделимую часть пространства. Рассмотрим теперь движение неделимых друг относительно друга: за два неделимых момента времени. пройдет две неделимые части. и одновременно отсчитает четыре неделимые части. т.е. неделимый момент времени окажется делимым.

Этой апории можно придать и несколько другую форму. За одно и то же время t точка проходит половину отрезка и целый отрезок. Но каждому неделимому моменту времени отвечает неделимая часть пространства, проходимая за это время. Тогда в некотором отрезке а и отрезке 2а содержится «одинаковое» число точек, «одинаковое» в том смысле, что между точками обоих отрезков можно установить взаимно однозначное соответствие. Этим впервые было установлено такое соответствие между точками отрезков различной длины. Если считать, что мера отрезка получается как сумма мер неделимых, то вывод является парадоксальным.

2. Применение числового ряда

2.1 Определение

Пусть задана бесконечная числовая последовательность

Определение 1.1. Числовым рядом или просто рядом называется выражение (сумма) вида

Числа называются членами ряда. - общим или n членом ряда.

Чтобы задать ряд (1.1) достаточно задать функцию натурального аргумента вычисления -го члена ряда по его номеру

…………………………….

…………………………….

Числовая последовательность при неограниченном возрастании номера может:

1) иметь конечный предел;

2) не иметь конечного предела (предел не существует или равен бесконечности).

Определение 1.2. Ряд (1.1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм (1.5) имеет конечный предел, т.е.

В этом случае число называется суммой ряда (1.1) и обозначается

Определение 1.3. Ряд (1.1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела.

Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.

Таким образом, задача нахождения суммы сходящегося ряда (1.1) равносильна вычислению предела последовательности его частичных сумм.

2.2 Основные свойства числовых рядов

Свойства суммы конечного числа слагаемых отличаются от свойств ряда, т.е. суммы бесконечного числа слагаемых. Так, в случае конечного числа слагаемых их можно группировать в каком угодно порядке, от этого сумма не изменится. Существуют сходящиеся ряды (условно сходящиеся), для которых, как показал Риман Георг Фридрих Бернхард, меняя надлежащим образом порядок следования их членов, можно сделать сумму ряда равной какому угодно числу, и даже расходящийся ряд.

Пример 2.1. Рассмотрим расходящийся ряд вида

Сгруппировав его члены попарно, получим сходящийся числовой ряд с суммой, равной нулю:

С другой стороны, сгруппировав его члены попарно, начиная со второго члена, получим также сходящийся ряд, но уже с суммой, равной единице:

Сходящиеся ряды обладают некоторыми свойствами, которые позволяют действовать с ними, как с конечными суммами. Так их можно умножать на числа, почленно складывать и вычитать. У них можно объединять в группы любые рядом стоящие слагаемые.

Теорема 2.1. (Необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд (1.1) сходится, то его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n, т.е.

Доказательство теоремы следует из того, что. и если

S - сумма ряда (1.1), то

Условие (2.1) является необходимым, но недостаточным условием для сходимости ряда. Т. е. если общий член ряда стремится к нулю при. то это не значит, что ряд сходится. Например, для гармонического ряда (1.2) однако он расходится.

Следствие (Достаточный признак расходимости ряда).

Если общий член ряда не стремится к нулю при. то этот ряд расходится.

Свойство 2.1. Сходимость или расходимость ряда не изменится, если произвольным образом удалить из него, добавить к нему, переставить в нем конечное число членов (при этом для сходящегося ряда его сумма может измениться).

Доказательство свойства следует из того, что ряд (1.1) и любой его остаток сходятся или расходятся одновременно.

Свойство 2.2. Сходящийся ряд можно умножать на число, т.е. если ряд (1.1) сходится, имеет сумму S и c - некоторое число, тогда

Доказательство следует из того, что для конечных сумм справедливы равенства

Свойство 2.3. Сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать, т.е. если ряды ,

сходится и его сумма равна т.е.

Доказательство следует из свойств предела конечных сумм, т.е.

Признак сравнения

Пусть даны два положительных ряда

и выполняются условия для всех n=1,2,…

Тогда: 1) из сходимости ряда (3.2) следует сходимость ряда (3.1);

2) из расходимости ряда (3.1) следует расходимость ряда (3.2).

Доказательство. 1. Пусть ряд (3.2) сходится и его сумма равна В. Последовательность частичных сумм ряда (3.1) является неубывающей ограниченной сверху числом В, т.е.

Тогда в силу свойств таких последовательностей следует, что она имеет конечный предел, т.е. ряд (3.1) сходится.

2. Пусть ряд (3.1) расходится. Тогда, если ряд (3.2) сходится, то в силу доказанного выше пункта 1 сходился бы и исходный ряд, что противоречит нашему условию. Следовательно ряд (3.2) также расходится.

Этот признак удобно применять к определению сходимости рядов, сравнивая их с рядами, сходимость которых уже известна.

Признак Даламбера

Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел

Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;

2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;

3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.

Замечание: Ряд (1.1) будет расходиться и в том случае, когда

Признак Коши

Пусть члены положительного ряда (1.1) таковы, что существует предел

Тогда: 1) при q < 1 ряд (1.1) сходится;

2) при q > 1 ряд (1.1) расходится;

3) при q = 1 о сходимости ряда (1.1) ничего сказать нельзя, необходимы дополнительные исследования.

Интегральный признак Коши - Маклорена

Пусть функция f(x) непрерывная неотрицательная невозрастающая функция на промежутке

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Числовые ряды применяются не только в математике, но и в ряде других наук. Хотелось бы привести несколько примеров такого использования.

Например, для исследования свойств структур обломочных пород. На практике использование понятия «структура» в основном свелось к характеристике размерных параметров зёрен. В связи с этим понятие «структура» в петрографии не соответствует понятию «структура» в кристаллографии, структурной геологии и других науках о строении вещества. В последних «структура» больше соответствует понятию «текстура» в петрографии и отражает способ заполнения пространства. Если принять, что «структура» является пространственным понятиям, то следующие структуры нужно считать бессодержательными: вторичные или первичные структуры и текстуры; кристаллические, химические, замещения (разъедания, перекристаллизации и т.д.), деформационные структуры, ориентированные, остаточные структуры и пр. Поэтому эти «структуры» названы «ложными структурами».

Структура - это множество структурных элементов, характеризуемое размерами зерен и их количественными соотношениями.

При проведении конкретных классификаций обычно используются линейные параметры зерна с последовательностью

хотя количественные оценки распространённости осуществляются через площадные (процентные) параметры. Эта последовательность может иметь значительную длину и никогда не строится. Обычно же говорят только о пределах изменения параметров. называя максимальные (max) и минимальные (min) значения размеров зерен.

Одно из направлений представления P4 - использование числовых рядов, которые строятся также как и указанная выше последовательность, но вместо (?) ставиться знак суммы (+). Свертка всех последовательностей осуществляется объединением равных элементов и сложением их площадей. Тогда имеем последовательность:

Выражение означает, что измерена площадь. занимаемая всеми сечениями тех зерен i, размер которых равен .

Эта особенность зёрен позволяет проводить числовой анализ полученных соотношений. Во-первых, параметр можно рассматривать как значения координатной оси и таким образом строить некоторый график S=f(l). Во-вторых, последовательность (RSl) 1 можно ранжировать, например, по убыванию коэффициентов. в результате получается ряд

Именно этот ряд и называется структурой данного сечения породы, он же является и определением понятия «структура». Параметр есть элемент структуры, а параметр k= - длина структуры. По построению n=k. Такое представление структуры позволяет проводить сравнение различных структур между собой.

Также, Бутусов Кирилл Павлович Открыл явление «резонанса волн биений», на основе чего сформулировал «закон планетных периодов», из-за которого периоды обращений планет образуют числовые ряды Фибоначчи и Люка и доказал, что «закон планетных расстояний» Иоганна Тициуса есть следствие «резонанса волн биений» (1977). Одновременно обнаружил проявление «золотого сечения» и в распределении ряда других параметров тел Солнечной системы (1977). В связи с этим ведет работу по созданию «золотой математики» - новой системы счисления, основанной на числе Фидия (1,6180339), более адекватной задачам астрономии, биологии, архитектуры, эстетики, теории музыки и т.д.

Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в. с помощью этого ряда Фибоначчи нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы.

Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Сосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в. Ряд Фибоначчи используют широко: с его помощью представляют архитектонику и живых существ, и рукотворных сооружений, и строение Галактик. Эти факты - свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности.

Криптография - наука о математических методах обеспечения конфиденциальности (невозможности прочтения информации посторонним) и аутентичности (целостности и подлинности авторства, а также невозможности отказа от авторства) информации. Подавляющее большинство современных криптографических систем используют либо поточные, либо блочные алгоритмы, базирующиеся на различных типах шифрах замены и перестановки. К сожалению, практически все алгоритмы, используемые в поточных криптосистемах, ориентированных на использование в военных и правительственных системах связи, а также, в некоторых случаях, для зашиты информации коммерческого характера, что вполне естественно делает их секретными и недоступными для ознакомления. Единственными стандартными алгоритмами поточного шифрования являются уже американский стандарт DES (режимы CFB и OFB) и российский стандарт ГОСТ 28147-89 (режим гаммирования). При этом алгоритмы поточного шифрования, используемые в этих стандартах, являются засекреченными.

Основу функционирования поточных криптосистем составляют генераторы случайных или псевдослучайных последовательностей. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

Псевдослучайные последовательности

Секретные ключи представляют собой основу криптографических преобразований, для которых, следуя правилу Керкхофа, стойкость хорошей шифровальной системы определяется лишь секретностью ключа. Однако в практике создание, распределение и хранение ключей редко были сложными технически, хотя и дорогими задачами. Основная проблема классической криптографии долгое время заключалась в трудности генерирования непредсказуемых двоичных последовательностей большой длины с применением короткого случайного ключа. Для ее решения широко используются генераторы двоичных псевдослучайных последовательностей. Существенный прогресс в разработке и анализе этих генераторов был достигнут лишь к началу шестидесятых годов. Поэтому в данной главе рассмотрены правила получения ключей и генерации на их основе длинных псевдослучайных последовательностей, используемых криптографическими системами для преобразования сообщения в шифровку.

Получаемые программно из ключа, случайные или псевдослучайные ряды чисел называются на жаргоне отечественных криптографов гаммой, по названию у - буквы греческого алфавита, которой в математических записях обозначаются случайные величины. Интересно отметить, что в книге «Незнакомцы на мосту», написанной адвокатом разведчика Абеля, приводится термин гамма, который специалисты ЦРУ пометили комментарием - «музыкальное упражнение?», то есть в пятидесятые годы они не знали его смысла. Получение и размножение реализаций настоящих случайных рядов опасно, сложно и накладно. Физическое моделирование случайности с помощью таких физических явлений, как радиоактивное излучение, дробовой шум в электронной лампе или туннельный пробой полупроводникового стабилитрона не дают настоящих случайных процессов. Хотя известны случаи удачных применений их в генерации ключей, например, в российском криптографическом устройстве КРИПТОН. Поэтому вместо физических процессов для генерации гаммы применяют программы для ЭВМ, которые хотя и называются генераторами случайных чисел, но на самом деле выдающие детерминированные числовые ряды, которые только кажутся случайными по своим свойствам. От них требуется, чтобы, даже зная закон формирования, но не зная ключа в виде начальных условий, никто не смог бы отличить числовой ряд от случайного, как будто он получен бросанием идеальных игральных костей. Можно сформулировать три основных требования к криптографически стойкому генератору псевдослучайной последовательности или гаммы:

Период гаммы должен быть достаточно большим для шифрования сообщений различной длины.

Гамма должна быть трудно предсказуемой. Это значит, что если известны тип генератора и кусок гаммы, то невозможно предсказать следующий за этим куском бит гаммы с вероятностью выше х. Если криптоаналитику станет известна какая-то часть гаммы, он все же не сможет определить биты, предшествующие ей или следующие за ней.

Генерирование гаммы не должно быть связано с большими техническими и организационными трудностями.

Последовательности Фибоначчи

Интересный класс генераторов случайных чисел неоднократно предлагался многими специалистами целочисленной арифметике, в частности Джорджем Марсалиа и Арифом Зейманом. Генераторы этого типа основаны на использовании последовательностей Фибоначчи. Классический пример такой последовательности <0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…>. За исключением первых двух ее членов, каждый последующий член равен сумме двух предшествующих. Если брать только последнюю цифру каждого числа в последовательности, то получится последовательность чисел <0, 1, 1, 2, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4…> Если эта последовательность применяется для начального заполнения массива большой длины, то, используя этот массив, можно создать генератор случайных чисел Фибоначчи с запаздыванием, где складываются не соседние, а удаленные числа. Марсалиа и Зейман предложили ввести в схему Фибоначчи «бит переноса», который может иметь начальное значение 0 или 1. Построенный на этой основе генератор «сложения с переносом» приобретает интересные свойства, на их основании можно создавать последовательности, период которых значительно больше, чем у применяемых в настоящее время конгруэнтных генераторов. По образному выражению Марсалиа, генераторы этого класса можно рассматривать как усилители случайности. «Вы берете случайное заполнение длиной в несколько тысяч бит и генерируете длинные последовательности случайных чисел». Однако большой период сам по себе еще не является достаточным условием. Слабые места гамм бывает трудно обнаружить и аналитику требуется применять утонченные методы анализа последовательностей, чтобы выделить определенные закономерности, которые скрыты в большом массиве цифр.

Ряды широко используются в математике и ее приложениях, в теоретических исследованиях, так и при приближенных численных решениях задач. Многие числа могут быть записаны в виде специальных рядов, с помощью которых удобно вычислять их приближенные значения с нужной точностью. Метод разложения в ряды является эффективным методом изучения функций. Он применяется для вычисления приближенных значений функций, для вычисления и оценок интегралов, для решения всевозможных уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных).

Список литературы

1. Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 1-2 - М.:Наука, 1969

2. Майков Е.В. Математический анализ. Числовые ряды/Е.В. Майков. - 1999

3. «Курс анализа в политехнической королевской школе»

4. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия (под ред. Юшкевича А.П. том I)

5. Хрестоматия по истории математики (часть II) (под ред. Юшкевича А.П.)

6. Высшая математика: Общий курс: Учеб. - 2-е изд. / А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С.А. Самаля. - Мн. Выш. шк. 2000. - 351 с.

7. Марков Л.Н. Размыслович Г.П. Высшая математика. Часть 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. - Мн. Амалфея, 2003. - 352 с.

8. Макаров В.П. Вопросы теоретической геологии. 7. Элементы теории структур. /Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании `2007. Одесса, Черноморье, 2007. Т.19. С. 27 - 40.

9. Половинкина Ю. Ир. Структуры горных пород. Часть 1: Магматические породы; Часть 2: Осадочные породы; Часть 3: Метаморфические породы. - М. Госгеолиздат, 1948.

10. http://shaping.ru/mku/butusov.asp

11. http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/gr-txt.htm

12. Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 10 «Ряды». Теоретические основы. Методические указания для студентов. Материалы для самостоятельной работы студентов. - Уфа: Издательство УГНТУ, 2007. - 113 с.

13. http://cryptolog.ru/? Psevdosluchainye_posledovatelmznosti

14. Галуев Г.А. Математические основы криптологии: Учебно-методическое пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ 2003.-120 с.

Другие статьи, обзоры программ, новости

12_Числовые ряды_Лекция

/ Бакалавры экономики. 1 курс 2 семестр / Математический анализ / 12_Методические и дидактические материалы по отдельным темам курса / Тема 12. Числовые ряды / 12_Числовые ряды_Лекция

Определение числового ряда. Сходимость числового ряда

Определение 1. Если члены числовой последовательности (a n ) соединить знаком +, то полученное формальное выражениеа 1 +а 2 +а 3 + +a n + называетсячисловым рядом.

Числовой ряд будем также записывать символом или просто. Числоа n называется n - м или общим членом ряда.

Договоримся, что если некоторые члены ряда имеют отрицательные знаки, то можно писать, например, вместо выражения.

Определение 2. Сумма первых п членов числового ряда называетсяn -ой частичной суммой ряда и обозначается S n =а 1 +а 2 +а 3 + +a n .

Определение 3. Если последовательность (S n ) частичных сумм числового ряда сходится к некоторому числуS ?R. то этот числовой ряд называется сходящимся .

Определение 4. Если числовой ряд сходится, то числоназываетсясуммой числового ряда и пишут S =илиS =a 1 +a 2 +a 3 + +а n +.

Итак, символом будем обозначать и числовой ряд, и его сумму (если ряд сходится).

Подчеркнем, что S не есть "сумма всех членов ряда", а является пределом последовательности его частичных сумм, т.е. .

Определение 5. Числовой ряд называетсярасходящимся. если последовательность (S n ) его частичных сумм расходится.

Определение 6. Суммой двух числовых рядов и называется числовой ряд.

Теорема 1. Если числовые ряды и сходятся и имеют суммы A и B , то числовой ряд также сходится и имеет сумму A +B .

Определение 7. Произведением числового ряда на число k ?R называется числовой ряд .

Теорема 2. Если числовой ряд сходится и имеет сумму A , то числовой ряд также сходится для любого k ?R и имеет сумму k ? A .

Для исследования числовых рядов на сходимость имеется ряд признаков. Далее рассмотрим некоторые из них.

Необходимый признак сходимости рядов

Теорема 3. (необходимое условие сходимости числового ряда). Если числовой ряд сходится. то .

Доказательство. Рядсходится, т.е. существует предел. Заметим, что.

Рассмотрим . Тогда. Отсюда,.

Следствие 1. Если не выполнено условие , то рядрасходится.

Замечание 1. Условие не является достаточным для сходимости числового ряда. Например,гармонический ряд расходится, хотя и имеет место.

Определение 8. Числовой ряд a n +1 +a n +2 +…=, полученный из данного ряда отбрасыванием первыхп членов, называется n - м остатком данного ряда и обозначается R n .

Теорема 4. Если числовой ряд сходится, то сходится и любой его остаток. Обратно : если сходится хотя бы один остаток ряда, то сходится и сам ряд. При этом, для любого n ?? выполняется равенство S =S n +R n .

Следствие 2. Сходимость или расходимость числового ряда не изменится, если удалить или добавить несколько первых членов.

Следствие 3. .

Признаки сравнения и Даламбера

сходимости знакоположительных рядов

Теорема 1 (признак сравнения рядов с положительными членами в неравенствах). Пусть и -ряды с неотрицательными членами. причем для каждого п ?N выполнено условие а n ?b n . Тогда :

1) из сходимости ряда с большими членами следует сходимость ряда с меньшими членами ;

2) из расходимости ряда с меньшими членами следует расходимость ряда с большими членами.

Замечание 1. Теорема верна, если условиеа n ?b n выполняется с некоторого номераN ?N .

Теорема 2 (признак сравнения рядов с положительными членами в предельной форме).

Пусть и -ряды с неотрицательными членами и существует .Тогда данные ряды сходятся или расходятся одновременно .

Теорема 3 (признак Даламбера). Пусть -ряд с положительными членами и существует .

Тогда ряд сходится при q ?1и расходится при q >1 .

Доказательство. Пусть q ?1. Зафиксируем число р такое, что q ? p ? 1. По определению предела числовой последовательности, с некоторого номера N ?N выполняется неравенство a n +1 /a n ?p , т.е. a n +1 ? p ? a n . Тогда a N +1 ? p ? a N . a N +2 ? p 2 ? a N . По индукции легко показать, что для любого k ?N верно неравенство , a N + k ? p k ? a N . Но ряд сходится как геометрический ряд (p <1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд также сходится. Следовательно, сходится и ряд(по теореме 2.2).

Пусть q >1. Тогда с некоторого номера N ?N верно неравенство a n +1 /a n >1, т.е. a n +1 >a n . Следовательно, с номера N последовательность (a n ) является возрастающей и условие не выполнено. Отсюда, по следствию2.1, вытекает расходимость рядаприq >1.

Интегральный признак сходимости числовых рядов

Теорема 1 (интегральный признак Коши). Пусть - ряд с неотрицательными членами и существует непрерывная, невозрастающая, неотрицательная функция y =f (x ), определенная на такая, что f (n )= a n для всех n ?N. Тогда ряд и несобственный интеграл первого родасходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Сходимость интеграла функции f. удовлетворяющей условиям теоремы, равносильна существованию предела последовательности, т.е. сходимости рядадля которого интегралявляется (п- 1)-ой частичной суммой. Осталось показать, что ряды и сходятся или расходятся одновременно.

В силу монотонности f для любого n ?N при всех x ?[n ;n +1] выполняются неравенства a n +1 =f (n +1)?f (x )?f (n )=a n . Следовательно, для любогоn ?N .

Если сходится ряд . то, по признаку сравнения, сходится и ряд с меньшими членами .

Обратно: если сходится ряд . то, по признаку сравнения, сходится и ряд с меньшими членами . Следовательно, по теореме 2.2, сходится и ряд . Теорема доказана.

Замечание 1. С помощью интегрального признака несложно проверить, что числовой ряд сходится, если а >1, и расходится, если a ?1. Ряд называется гармоническим рядом. а ряд с произвольным ? ?R называется обобщенным гармоническим рядом .

Знакочередующиеся ряды.

Признак сходимости знакочередующихся рядов

Исследование рядов с членами произвольных знаков представляет более трудную задачу, однако в двух случаях есть удобные признаки: для знакочередующихся рядов - теорема Лейбница; для абсолютно сходящихся рядов применим любой признак исследования рядов с неотрицательными членами.

Определение 1. Числовой ряд называется знакочередующимся. если любые два соседних члена имеют противоположные знаки, т.е. ряд имеет вид или . где a n >0 для каждого n ?N .

Теорема 1 (Лейбница).Знакочередующийся ряд сходится, если:

1) (a n ) -невозрастающая последовательность ;

2) при .

При этом модуль суммы знакочередующегося ряда не превосходит модуля его первого члена, т.е. ?S ?? a 1 .

Доказательство. Пусть ряд имеет вид . Рассмотрим последовательность . Она является неубывающей, так как для любогоn ?N выполняется условие , и ограниченной сверху, так как для любогоn ?N выполняется условие . Следовательно, последовательностьсходится. Пусть. Тогда. Отсюда получаем, что последовательностьсходится кS. т.е. ряд сходится и имеет сумму S .

Заметим также, что , следовательно, для любогоn ?N выполняется условие . Аналогичными рассуждениями доказывается, что, следовательно,. Если же ряд имеет вид . то . Следовательно, в общем случае выполняется неравенство. После предельного перехода при получаем , что и требовалось доказать.

Следствие 1. Модуль остатка знакочередующегося ряда типа Лейбница не превосходит модуля его первого члена , т.е. .

Абсолютно сходящиеся ряды

Определение 2. Если сходится ряд . то ряд называется абсолютно сходящимся .

Теорема 2. Если сходится ряд , то ряд также сходится .

Например, ряд является абсолютно сходящимися, так как ряд сходится по признаку сравнения, ибо для любого n ?N, а ряд сходится (a =2>1) .

Абсолютно сходящиеся ряды имеют ряд важных свойств, которыми обладают конечные суммы чисел:

- слагаемые можно переставлять местами;

- слагаемые можно группировать разными способами;

- суммы рядов можно перемножать.

Определение 3. Ряд называется перестановкой ряда , если существует биекция такая, что для любогоn ?N .

Теорема 3. Если ряд абсолютно сходится , то сходится , и притом абсолютно , любая перестановка данного ряда , и их суммы совпадают .

Условно сходящиеся ряды

Определение 4. Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся .

Ряд является условно сходящимся. Действительно, ряд сходится (по теореме Лейбница), а ряд расходится.

Теорема 4 (Римана). Если числовой ряд условно сходится. то для любого существует такой числовой ряд. полученный перестановкой членов ряда . что ряд сходится и его сумма равна C .