Рейтинг: 4.5/5.0 (1874 проголосовавших)Категория: Windows: Калькуляторы
Показать еще
Презентация на тему: " ПЕРЕВОД ДРОБНЫХ И ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ Информатика 10 класс Клепинина Н.Р." — Транскрипт:1 ПЕРЕВОД ДРОБНЫХ И ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ Информатика 10 класс Клепинина Н.Р. 
2 Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления. 2. Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа. 3. Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления. 4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения. 1. Алгоритм перевода дробных чисел: 
3 0, 65625 x 8 5 25000 x 8 2 00000 Пример 1 Перевести число 0,65625 10 в восьмеричную систему счисления. Получаем: 0,65625 10 =0,52 8 
4 0, 65625 x 16 10 (А) 50000 x 16 8 00000 Пример 2. Перевести число 0,65625 10 в шестнадцатеричную систему счисления. Получаем: 0,65625 10 =0,А8 1 
5 0,5625 x 2 11250 x 2 02500 x 2 05000 x 2 10000 Пример 3. Перевести десятичную дробь 0,5625 10 в двоичную систему счисления. Получаем: 0,5625 10 =0,1001 2 
6 0, 7 x 2 1 4 x 2 0 8 x 2 1 6 x 2 1 2 Пример 4. Перевести в двоичную систему счисления десятичную дробь 0.7 10. 
7 Этот процесс может продолжаться бесконечно, давая все новые и новые знаки в изображении двоичного эквивалента числа 0,7 10. Так, за четыре шага мы получаем число 0,1011 2, а за семь шагов число 0,1011001 2, которое является более точным представлением числа 0,7 10 в дволличной системе счисления, и т.д. Такой бесконечный процесс обрывают на некотором шаге, когда считают, что получена требуемая точность представления числа. 
8 2. Перевод произвольных чисел Переводим целую часть:Переводим дробную часть: 17 2 1 8 2 0 4 2 0 2 2 0 1 0, 25 x2 0 50 x2 1 00 Перевод произвольных чисел, т.е. чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой (точкой). Пример 2.20. Перевести число 17,25 10 в двоичную систему счисления. Получаем: 17,25 10 =1001,01 2 
9 Переводим целую часть: Переводим дробную часть: 124 8 4 15 8 7 1 0, 25 x8 2 00 Пример 2.21. Перевести число 124,25 10 в восьмеричную систему. Получаем: 124,25 10 =174,2 8 
10 Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 2 n и обратно Перевод целых чисел. Если основание q-лличной системы счисления является степенью числа 2, то перевод чисел из q-лличной системы счисления в 2-ичную и обратно можно проводить по более простым правилам. Для того, чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2 n, нужно: 1. Двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой. 2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2 n. 
11 101100 001 000 110 010 5 4 1 0 6 2 Пример 1. Число 101100001000110010 2 переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: 541062 8. 
12 00100000 1111 10000111 20 0 F 8 7 Пример 3. Число 1000000000111110000111 2 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число справа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 200F87 16. 
13 Для того, чтобы дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2 n, нужно: 1. Двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой. 2. Если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов. 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2 n. Перевод дробных чисел 
14 Пример 2.24. Число 0,10110001 2 переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0,542 8. 0,101 100 010 0,5 4 2 
15 100000000011 0,8 0 3 Пример 2.25. Число 0,100000000011 2 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 0,803 16 
16 Перевод произвольных чисел. 111 100101, 011 100 7 4 5, 3 4 Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2 n, нужно: 1. Целую часть данного двоичного числа разбить справа налево, а дробную слева направо на группы по n цифр в каждой. 2. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями до нужного числа разрядов; 3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2 n Пример. Число 111100101,0111 2 переведем в восьмеричную систему счисления. Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру: Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,34 8. 
17 01110100 1000, 1101 0010 748, D 2 Пример 2.27. Число 11101001000,11010010 2 переведем в шестнадцатеричную систему счисления. Разбиваем целую и дробную части числа на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру: Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748,D2 16. 
18 Перевод чисел из систем счисления с основанием q=2 n в двоичную систему. 4А С 3 5 0100 1010 1100 0011 0101 Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q=2 n, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в дволличной системе счисления. Пример 2.28. Переведем шестнадцатеричное число 4АС35 16 в двоичную систему счисления. В соответствии с алгоритмом: Получаем: 1001010110000110101 2. 
19 Задание: 1. Переведите числа из десятлличной системы счисления в восьмеричную: 1) 0,43 2) 37,41 3) 2936 4) 481,625 2. Переведите числа из десятлличной системы счисления в шестнадцатеричную: 1) 0,17 2) 43,78 3) 25,25 4) 18,5 1)0,46222)0,51983)0,58034)0,6124 5)0,73516)0,79827)0,85448)0,9321 4. Переведите десятичные дроби в двоичную систему счисления (ответ записать с шестью двоичными знаками): 5. Переведите двоичные числа в восьмеричную систему счисления: 1) 1010,00100101 2) 1110,01010001 3) 1000,1111001 
20 Задание: 6. Переведите двоичные числа в шестнадцатеричную 1) 1010,00100101 2) 1110,01010001 3) 100,1111001 7. Переведите восьмеричные и шестнадцатеричные числа в двоичную систему счисления: 1) 266 8 2) 1270 8 3) 10,23 8 4) 266 16 5) 2А19 16 6) 10,23 16 
В любой системе счисления нужно уметь представлять не только целые числа, но и дробные. С математической точки зрения это ординарная задача, которая давно решена. Однако с точки зрения компьютерной техники это далеко не тривиальная проблема, во многом связанная с архитектурой компьютера. Ресурсы компьютеров не бесконечны, и основной трудностью является представление периодических и непериодических дробей. Следовательно, такие дроби следует округлять, задавать класс точности участвующих (и могущих появиться в результате вычислений!) чисел без потери точности вычислений, а также следить за тем, чтобы потеря точности не произошла при переводе чисел из одной системы счисления в другую. Особенно важно аккуратно производить вычисления при операциях с плавающей точкой.
Запишем формулу представления дробного числа в позиционной системе счисления:
В случае десятичной системы счисления получим:
Перевод дробного числа из двоичной системы счисления в десятичную производится по следующей схеме:
Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:
Перевод целой части дает 20610 =110011102 по ранее описанным алгоритмам; дробную часть умножаем на основание 2. занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
116 • 2 = 0 .232 .232 • 2 = 0 .464 .464 • 2 = 0 .928 .928 • 2 = 1 .856 .856 • 2 = 1 .712 .712 • 2 = 1 .424 .424 • 2 = 0 .848 .848 • 2 = 1 .696 .696 • 2 = 1 .392 .784 • 2 = 0 .784 и т.д.
Получим: 20610 =11001110,00011101102
Перевод из любой системы счисления в десятичную
Для того, что бы перевести десятичную дробь из любой системы счисления в десятичную, надо воспользоваться развернутой формой записи числа
При переводе из 2-ой в 8-ую систему счисления надо дробную часть разбить на триады (по три разряда) и записать каждую триаду эквивалентным двоичным кодом, недостающее число разрядов надо дополнить справа нулями.
Сравните с алгоритмом перевода целой части числа и объясните разницу.
111100101,01112 =111 100 101,011 1002 = 745,348.
Перевод дробной части числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную
При переводе из 2-ой в 16-ую систему счисления надо дробную часть разбить на тетрады (по 4 разряда) и записать каждую тетраду эквивалентным двоичным кодом, недостающее число разрядов надо дополнить справа нулями.
11101001000,11010012 = 0111 0100 1000,1101 00102 =748,D216.
Для того, что бы перевести дробь из десятичной системы счисления в любую другую, надо:
2) полученные целые части произведений, являются цифрами числа в новой системе счисления (при необходимости их надо привести в соответствие с алфавитом этой системы счисления);
3) составить дробную часть в новой системе счисления начиная с целой части первого произведения.
Для перевода чисел из одной системы счисления в другую необходимо владеть основными сведениями о системах счисления и форме представления чисел в них.
Количество s различных цифр, употребляемых в системе счисления, называется основанием, или базой системы счисления. В общем случае положительное число X в позиционной системе с основанием s может быть представлено в виде полинома:
где s - база системы счисления, 
- цифры, допустимые в данной системе счисления 
. Последовательность 
образует целую часть X. а последовательность 
- дробную часть X.
В вычислительной технике наибольшее применение нашли двоичная (BIN - binary), и двоично кодированные системы счисления: восьмеричная (OCT - octal), шестнадцатеричная (HEX - hexadecimal) и двоично-кодированная десятичная (BCD - binary coded decimal).
В дальнейшем для обозначения используемой системы счисления число будет заключаться в скобки, а в индексе указано основание системы. Число X по основанию s будет обозначено 
.
Основанием системы счисления служит число 2 (s = 2) и для записи чисел используются только две цифры: 0 и 1. Чтобы представить любой разряд двоичного числа, достаточно иметь физический элемент с двумя чётко различными устойчивыми состояниями, одно из которых изображает 1, а другое 0.
Прежде чем заняться переводом из любой системы счисления в двоичную, нужно внимательно изучить пример записи числа в двоичной системе счисления:
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисленияЭти системы счисления относятся к двоично-кодированным, в которых основание системы счисления представляет собой целую степень двойки: 
- для восьмеричной и 
- для шестнадцатеричной.
В восьмеричной системе счисления(s = 8) используются 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Прежде чем заняться переводом из любой системы счисления в восьмеричную, нужно внимательно изучить пример записи числа в восьмеричной системе:
В шестнадцатеричной системе счисления (s = 16) используются 16 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.
Пример записи числа в шестнадцатеричной системе:
Широкое применение восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления обусловлено двумя факторами.
Во-первых, эти системы позволяют заменить запись двоичного числа более компактным представлением (запись числа в восьмеричной и шестнадцатеричной системах будет соответственно в 3 и 4 раза короче двоичной записи этого числа). Во-вторых, взаимное преобразование чисел между двоичной системой с одной стороны и восьмеричной и шестнадцатиречной - с другой осуществляется сравнительно просто. Действительно, поскольку для восьмеричного числа каждый разряд представляется группой из трёх двоичных разрядов (триад), а для шестнадцатеричного - группой из четырёх двоичных разрядов (тетрад), то для преобразования двоичного числа достаточно объединить его цифры в группы по 3 или 4 разряда соответственно, продвигаясь от разделительной запятой вправо и влево. При этом, в случае необходимости, добавляют нули слева от целой части и/или справа от дробной части и каждую такую группу - триаду или тетраду - заменяют эвивалентной восьмеричной или шестнадцатеричной цифрой (см. таблицу).
Соответствие между цифрами в различных системах счисления
Данный онлайн калькулятор предназначен для арифметических операций над числами, записанными в любой системе счисления онлайн. Вам необходимо определиться сколько чисел вам необходимо посчитать и выбрать это количество в графе количество чисел.
Далее Вам необходимо ввести каждое число и выбрать его систему счисления. Если в указанном списке Вы не нашли нужной СС, то выберите пункт другая и введите числом основание вашей системы счисления.
Этот калькулятор умеет осуществлять простейшие арифметические операции над числами. Причем числа могут быть введены в разных системах счисления.
Пример решения: 5436 7 — 1101 2
Пример состоит из двух чисел 5436 7 и 1101 2 где в первом 7 и втором 2 — это основания системы счисления.
Введем сначала 5436 7 в поле «число 1» без основания СС (то есть без 7) и укажем его систему в соответствующем поле — выбираем пункт другая и вводим 7. Результат на скришоте:
Теперь также введем число 11011 в двоичной системе счисления:
Далее выбираем в поле «операция» вычитание и указываем что расчет должен быть выполнен в десятичной СС. Если мы хотим чтобы результат расчета был в двоичной СС, то указываем это как на скриншоте:
Теперь нажимаем копку «Рассчитать» и смотрим результат:
Если хотите посмотреть ход решения, то нажмите ссылку «Показать как оно получилось»
Если Вам необходимо рассчитать более двух чисел то выберите нужное количество в пункте «Количество чисел» Максимум 7 чисел.
Разберем одну из важнейших тем по информатике - Системы счисления. В школьной программе она раскрывается довольно "скромно", скорее всего, из-за недостатка отведенных на нее часов. Знания по этой теме, особенно на перевод систем счисления. являются обязательным условием для успешной сдачи ЕГЭ и поступления в ВУЗы на соответствующие факультеты. Ниже подробным образом рассмотрены такие понятия, как позиционные и непозиционные системы счисления. даны примеры этих систем счисления, представлены правила перевода целых десятичных чисел, правильных десятичных дробей и смешанных десятичных чисел в любую другую систему счисления, перевода чисел из любой системы счисления в десятичную, перевода из восьмеричной и шестнадцатиричной систем счисления в двоичную систему счисления. На экзаменах в большом количестве встречаются задачи по данной теме. Умение их решать – одно из требований к абитуриентам. Скоро: По каждой теме раздела, помимо подробного теоретического материала, будут представлены практически все возможные варианты задач для самостоятельного изучения. Кроме того, у вас появится возможность совершенно бесплатно скачать с файлообменника уже готовые подробные решения к данным задачам, иллюстрирующие различные способы получения верного ответа.
Н епозиционные системы счисления. П озиционные системы счисления.Позиционные системы счисления - системы счисления, в которых количественное значение цифры зависит от ее местоположения в числе.
Например, если говорить о десятичной системе счисления, то в числе 700 цифра 7 означает "семь сотен", но эта же цифра в числе 71 означает "семь десятков", а в числе 7020 - "семь тысяч".
Каждая позиционная система счисления имеет свое основание. В качестве основания выбирается натуральное число, большее или равное двум. Оно равно количеству цифр, используемых в данной системе счисления.
Чтобы успешно решать задачи по теме "Системы счисления", ученик должен знать наизусть соответствие двоичных, десятичных, восьмеричных и шестнадцатиричных чисел до 1610 :
Перевод чисел в различных системах счисления.
Для перевода числа из десятичной системы счисления в систему счисления с другим основанием поступают следующим образом:
а) Для перевода целой части числа его делят нацело на основание системы, фиксируя остаток. Если неполное частное не равно нулю продолжают делить его нацело. Если равно нулю остатки записываются в обратном порядке.
б) Для перевода дробной части числа ее умножают на основание системы счисления, фиксируя при этом целые части полученных произведений. Целые части в дальнейшем умножении не участвуют. Умножение производиться до получения 0 в дробной части произведения или до заданной точности вычисления.
в) Ответ записывают в виде сложения переведенной целой и переведенной дробной части числа.
Пример: перевод чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления.
Перевести число 75,375 в двоичную систему счисления.
а) переведем в двоичную систему целую часть - 75
Теория 
ГИА. ЕГЭ. перевод систем. системы счисления
Итак, разобравшись с тем, что такое система счисления и какого вида они бывают, рассмотрев различные необычные системы счисления и научившись выполнять перевод между системами счисления. мы радостно вздохнули “Ура! Всё знаем”.
Должна Вас огорчить – до “Всё…” еще далековато.
Во-первых, нам надо еще научиться выполнять перевод не только целых, но и дробных чисел в различных системах счисления .
Во-вторых, нам надо научиться выполнять быстрый перевод чисел в системах счисления. основание которых кратно двум.
И, наконец, в-третьих, мы еще не умеем выполнять арифметические операции (сложение и вычитание) с числами в позиционных системах счисления .
Вот это наш план на ближайшее время. Итак, приступаем.
Первым номером нашей программы нашего плана – научиться выполнять перевод не только целых, но и дробных чисел в различных системах счисления .
Перевод дробных чисел в десятичную систему счисленияЗдесь совсем несложно.
110102 = 1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 + 0*2 0 = 1*16 + 1*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 = 16 + 8 +0 + 2 +0 = 2610
И применим некоторую особенность уравновешенной системы. в которой ноль является как бы основой в чашечных весах, а дальше знаки, как гирьки: 1 и -1, 2 и -2, …
Так и здесь, но со степенями: как только дошли до нулевой степени, начинается обратные отсчет степеней, т.е. степени -1, -2, -3 и т.д. Получаем:
11010,1012 = 1*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 + 0*2 0 + 1*2 -1 + 0*2 -2 + 1*2 -3
Напоминаю, что нули можно пропускать. поэтому запись может быть сразу проще:
11010,1012 = 1*2 4 + 1*2 3 +1*2 1 + 1*2 -1 + 1*2 -3
Итак, выполним указанные действия и получим ответ (я переносы на новые строчки выполняю только для удобства чтения и сравнения):
Действия при получении бесконечной дробиНе каждое число может быть точно выражено в десятичной системе счисления (т.е. получаем бесконечную дробь), поэтому иногда вычисляют только требуемое количество разрядов дробной части.
Еще один пример для наглядности, в котором ответ необходимо округлить до двух знаков после запятой:
Перевод дробных чисел из десятичной системы счисленияДля преобразования десятичных дробей в число любой системы счисления последовательно выполняют умножение на основание системы счисления, пока дробная часть произведения не будет равна нулю.
Полученные целые части числа являются разрядами числа в новой системе, и их необходимо представлять цифрами этой новой системы счисления. Целые части в дальнейшем отбрасываются.
Например, переведем десятичную дробь 0, 37510 в двоичную систему счисления:
В итоге получаем, что 0, 37510 = 0,0112
Если Вам не очень понятно, давайте еще раз, но будет немного другая запись (см ниже). Возможно, так окажется легче:
Таким образом, переписываем знаки 0011 и, отделив целую часть, получаем ответ: 0,0112
Еще один пример чуть посложнее:
Отдельно переводим целую и дробную части:
Итак, получаем 16,2410 = 315 + 0,115 = 31,115
Но не каждое число может быть точно выражено в новой системе счисления (т.е. получаем бесконечную дробь), поэтому иногда вычисляют только требуемое количество разрядов дробной части.
125,2710 = 236 + 0,16141… = 236,16141…7
Предположим, что нам необходимо оставить 4 знака после запятой, тогда получим 125,2710 = 236,16147
Предыдущий материал по теме можно найти здесь .
