Как по двум сторонам прямоугольного треугольника найти третью?

Популярные ответы

Похожие ответы

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Если все длины всех сторон прямоугольного треугольника известны, то его периметр P вычисляется по формуле:

P = a + b + с.

Таким образом, задача нахождения периметра сводится определению длины всех сторон треугольника. Эта задача решается по-разному, в зависимости от того, какие параметры прямоугольного треугольника известны.

По двум сторонам

Если известны две из трех строн прямоугольного треугольника, то третью сторону можно вычислить с помощью теоремы Пифагора. Если известны длины катетов (сторон, прилежащие к прямому углу), то длина третьей стороны (гипотенузы) вычисляется по формуле:

где a и b — катеты, а c — гипотенуза. Если же известна длина гипотенузы и одного из катетов, то второй катет можно найти по формуле:

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника

September 17, 2012

Среди многочисленных расчетов, производимых для вычисления тех или иных величин различных геометрических фигур, есть нахождение гипотенузы треугольника. Напомним, что треугольником называется многогранник, имеющий три угла. Ниже будут приведены несколько способов расчета гипотенузы различных треугольников.

Первоначально посмотрим, как найти гипотенузу прямоугольного треугольника. Для тех, кто подзабыл, прямоугольным называется треугольник, имеющий угол 90 градусов. Сторона треугольника, расположенная на противоположной стороне прямого угла, называется гипотенузой. К тому же, она является наиболее длинной стороной треугольника. В зависимости от известных величин длина гипотенузы рассчитывается следующим образом:

• Известны длины катетов. Гипотенуза в этом случае исчисляется, используя теорему Пифагора, которая звучит следующим образом: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если рассмотреть прямоугольный треугольник BKF, где BK и KF катеты, а FB – гипотенуза, то FB2= BK2+ KF2. Из вышесказанного следует, что при расчете длины гипотенузы нужно возвести поочередно в квадрат каждую из величин катетов. Затем сложить поученные цифры и из результата извлечь квадратный корень.

Рассмотрим пример: Дан треугольник с прямым углом. Один катет равен 3 см, другой 4см. Найти гипотенузу. Решение выглядит следующим образом.

FB2= BK2+ KF2= (3см)2+(4см)2= 9см2+16см2=25 см2. Извлекаем квадратный корень и получаем FB=5см.

• Известен катет (BK) и угол, прилежащий к нему, который образуется гипотенузой и этим катетом. Как найти гипотенузу треугольника? Обозначим известный угол α. Согласно свойству прямоугольного треугольника, которое гласит, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу угла между этим катетом и гипотенузой. Рассматривая треугольник это можно записать так: FB= BK*cos(α).
• Известен катет (KF) и тот же угол α, только теперь он уже будет противолежащим. Как найти гипотенузу в этом случае? Обратимся все к тем же свойствам прямоугольного треугольника и узнаем, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется синусу противолежащего катету угла. То есть FB= KF * sin (α).

Рассмотрим на примере. Дан все тот же прямоугольный треугольник BKF с гипотенузой FB. Пусть угол F равен 30 градусам, второй угол B соответствует 60 градусам. Еще известен катет BK, длина которого соответствует 8 см. Вычислить искомую величину можно так:

FB = BK /cos60 = 8 см.

FB = BK /sin30 = 8 см.

• Известен радиус окружности (R), описанной около треугольника с прямым углом. Как найти гипотенузу при рассмотрении такой задачи? Из свойства окружности, описанной вокруг треугольника с прямым углом известно, что центр такой окружности совпадает с точкой гипотенузы, разделяющей ее пополам. Простыми словами – радиус соответствует половине гипотенузы. Отсюда гипотенуза равна двум радиусам. FB=2*R. Если же дана аналогичная задача, в которой известен не радиус, а медиана, то следует обратить внимание на свойство окружности, описанной вокруг треугольника с прямым углом, которое говорит, что радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе. Используя все эти свойства, задача решается таким же способом.

Как видите, зная теорему Пифагора и свойства прямоугольного треугольника, решить задачи, при которых необходимо вычислить длину гипотенузы, очень просто. Если же все свойства запомнить сложно, выучите готовые формулы, подставив в которые известные значения можно будет рассчитать искомую длину гипотенузы.

Площадь треугольника

Суббота, 30 Мая 2015 г. 12:02 + в цитатник

Используя этот онлайн калькулятор, вы сможете найти площадь треугольника одним из девяти методов в зависимости от имеющихся у вас данных. Калькулятор поможет найти площадь треугольника если вам известны длины трех сторон треугольника или длины двух сторон и значение угла между ними или длины стороны и опущенной на нее высоты или длины трех сторон и радиус описанной окружности или длины трех сторон и радиус вписанной окружности или длина полупериметра и радиус вписанной окружности или длина двух сторон и одного угла треугольника или длина одной стороны и двух углов треугольника или радиус описанной окружности и два угла треугольника.

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Определения Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего к данному острому углу катета и гипотенузы.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего к данному острому углу катета и гипотенузы.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего к данному острому углу катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего к данному острому углу катета к противолежащему.

Пусть дан прямоугольный треугольник АВС такой, как показан на рисунке. Запишем определения тригонометрических функций для него:

Отсюда можно получить следующие формулы:

Катет прямоугольного треугольника равен:

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна:

Или в виде определений:

Катет прямоугольного треугольника равен произведению: гипотенузы и синуса противолежащего угла; гипотенузы и косинуса прилежащего угла; другого катета и тангенса противолежащего угла; другого катета и котангенса прилежащего угла.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна отношению: катета и синуса, противолежащего этому катету угла; катета и косинуса, прилежащего этому катету угла (не зависимо от того, какой катет известен).

Разузнай! Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника - Как найти гипотенузу по катетам - Как найти гипотенузу через угол - Как найти гипотенузу

В переводе с греческого языка, гипотенуза — значит «натянутый». Для правильного понимания представьте себе тетиву лука, которая соединяет два конца гибкой палки. Вот также и в прямоугольном треугольнике, самой большей по длине стороной, является гипотенуза. которая лежит против прямого угла. Она выступает соединителем двух других сторон, именуемых катетами. Чтобы узнать какая же длинна этой «тетевы», необходимо иметь значения длин катетов, либо величину двух острых углов. Комбинируя эти данные можно высчитать с помощью формул нужное значение.

Самый простой способ расчета, если вы знаете величину двух катетов ( обозначим один А, второй В). В помощь приходит сам Пифагор и его всемирно известная теорема. Она повествует нам. что если возвести длину катетов в квадрат и сложить посчитаные значения, то в результате мы узнаем значение длинны гипотенузы возведенное в квадрат. Из выше приведенного сделаем вывод: для нахождения величины гипотенузы необходимо извлечь квадратный корень из общей суммы квадратов катетов С=v(А?+В?). Пример: катет А=10 см, катет В=20 см. Гипотенуза при этом равна 22,36 см. Расчет происходит так: v(10?+20?)=v(100+400)= v500?22,36.

Немного сложнее рассчитать длину гипотенузы через заданный угол. Если вы знаете размер одного из двух катетов (обозначим А) и величину угла (обозначим ?), который лежит напротив него, то размер гипотенузы находится с помощью тригонометрии, а конкретно - синуса. Все что нужно сделать, это разделить значение известного катета на синус угла. С=А/sin(?). Пример: длинна катета А=30 см, угол напротив него 45°, гипотенуза при этом будет 42,25 см. Расчет происходит так: 30/sin(45°)=30/0,71=42,25.

Еще один способ — найти размер гипотенузы через косинус. Он применяется если вам известен размер катета (обозначим В) и острого угла (обозначим ?), который прилегает к нему. Все что нужно сделать, это разделить значение катета на синус угла. С=В/ cos(?). Пример: длинна катета В=30 см, угол напротив него 45°, гипотенуза при этом будет 42,25 см. Расчет происходит так: 30/cos(45°)=30/0,71=42,25.

Любой, уважающий себя школьник знает, что треугольник равнобедренный, при условии, что две из трех сторон равны между собой. Эти стороны именуются боковыми, а та что остается — основанием. Если же один из углов равняется 90°, то перед вами равнобедренный прямоугольный треугольник.

Чтобы найти гипотенузу в таком треугольнике, просто, ведь он имеет несколько свойств которые помогут. Угли прилягающие к основанию одинаковы по значению, общая сумма значений углов равняется 180°. Это значит, что прямой угол лежит напротив основания, значит основание — гипотенуза, катетами являются боковые стороны.

Рассмотрим пример: катет А=2 см, значит и другой катет равен 2 см. Таким образом перезапишем теорему Пифагора: С?=2* А?. Подставив данные в формулу получим значение величины гипотенузы равным 2,83 см. Вывод: если одна сторона равнобедренного прямоугольного треугольника равна 2 см, то основание у него будет равно 2,83 см.

Онлайн-калькулятор: Биссектриса угла

Задание. Даны координаты треугольника: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).

Решение получаем с помощью сервиса Координаты треугольника. 1) Координаты векторов

Координаты векторов находим по формуле:

здесь X,Y координаты вектора; x_i. y_i - координаты точки А_i ; x_j. y_j - координаты точки А_j

Например, для вектора AB

X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3

2) Длина сторон треугольника

Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между прямыми

Угол между векторами a₁ (X₁ ;Y₁ ), a₂ (X₂ ;Y₂ ) можно найти по формуле:

Найдем угол между сторонами AB и AC

γ = arccos(0.6) = 53.13 0

8) Уравнение прямой

Прямая, проходящая через точки A₁ (x₁ ; y₁ ) и A₂ (x₂ ; y₂ ), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

Каноническое уравнение прямой:

y = 3x -5 или y -3x +5 = 0

Уравнение прямой AC

Каноническое уравнение прямой:

y = 1 /₃ x + 1 /₃ или 3y -x - 1 = 0

Уравнение прямой BC

Каноническое уравнение прямой:

y = -x -1 или y + x +1 = 0

10) Уравнение биссектрисы треугольника

Найдем биссектрису угла A. Точку пересечения биссектрисы со стороной BC обозначим М.

Воспользуемся формулой:

Уравнение AB: y -3x +5 = 0, уравнение AC: 3y -x - 1 = 0

∟ A ≈ 53.13 0

Биссектриса делит угол пополам, следовательно угол NAK ≈ 27 0

Тангенс угла наклона AB равен 3/1 (т.к. y = 3x -5). Угол наклона равен 71.57 0

∟ NKA≈ 180 0 - 71.57 0 = 108.43 0

∟ ANK ≈ 180 0 - (108.43 0 + 26.57 0 ) ≈ 45 0

tg(45 0 ) = 1

Биссектриса проходит через точку A(2,1), используя формулу, имеем:

y - 1 = 1(x - 2)

Найдем биссектрису угла A.

Известно, что диагонали ромба делят углы пополам. Найдем орты векторов AC(-1,-3) и AB(-3,-1). Соответственно и на них, как на сторонах, построим ромб, диагональ которого AK, равную сумме ортов, можно взять в качестве направляющего вектора биссектрисы.

Каноническое уравнение биссектрисы AK примет вид:

y = x -1 или y - x + 1 = 0

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

В практике самолетовождения экипаж ВС сталкивается с необходимостью решения рядя задач, связанных с необходимостью быстрого и точного расчета навигационных элементов полета горизонтальной плоскости, определяемых тригонометрическими свойствами прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник, как любой треугольник, состоит из гипотенузы («Г») и двух катетов – больший («К1») и меньший («К2»). Один из углов равен 90° - прямой угол, два других – острые: угол «?1» противолежащий катету «К1» и угол «?2» противолежащий катету «К2».

В равнобедренном треугольнике катеты «К1» и «К2» равны, как и равны противолежащие им углы.

В этой связи могут быть предложены следующие способы расчета элементов прямоугольного треугольника.

1. Расчетгипотенузы «Г» по двум известным катетам «К1» и «К2»:

«Больший катет прибавить половину меньшего и от суммы отнять 10%»

Например данный расчет может применяться:

- для расчета скорости ветра (гипотенуза) по известным – боковой и эквивалентной составляющей ветра (два катета);

- для расчеты радиального расстояния третьего разворота (гипотенуза) по известным боковому и продольному расстоянию (два катета);

- для прочие расчеты.

2. Расчетугла «?2». противолежащего меньшему катету «К1» по двум известным катетам - меньшему «К1» и большему «К2»:

«Меньший катет разделить на больший, разность умножить на 50 и к произведению прибавить 10%»

Например данный расчет может применяться:

- для расчета БУ° («?2») по известному ЛБУ (противолежащий катет «К2») и Sпр.(прилежащий катет «К1»);

- для расчета ДП° («?2») по известному ЛБУ (противолежащий катет «К2») и Sост.(прилежащий катет «К1»);

- для расчета угла ветра, меньшего 45° («?2») по известным – боковой и эквивалентной составляющей ветра (два катета);

3. Расчетменьшего катета «К2» по известному противолежащему углу «?2» и большему катету «К1»:

«Угол разделить на 50, разность умножить на больший катет и от произведения отнять 10%»

Например данный расчет может применяться:

- для расчета ЛБУ («К2») по известному БУ° («?2») и Sпр.(прилежащий катет «К1»);

- для расчета угла отворота в заданную точку схемы («?2») по известным боковому и продольному расстоянию (два катета) до этой точки от ВС;

- прочие расчеты.

4. Расчет катета, противолежащего известному углу и гипотенузе.

«Гипотенуза умножить на значение синуса противолежащего угла»

Например данный расчет может применяться:

- для расчета боковой составляющей ветра у земли (катет – «К2») по скорости ветра у земли (гипотенуза – «Г») и острому углу ветра (противолежащий угол – «?2»);

5. Расчет катета, прилежащего известному углу и гипотенузе.

«Гипотенуза умножить на значение синуса разности 90° и прилежащего угла»

Например данный расчет может применяться:

- для расчета эквивалентного ветра (катет – «К1») по скорости ветра (гипотенуза – «Г») и разности 90° и острого угла ветра (прилежащий угол – «?2»);

Примечание: для расчета элементов 4 и 5 необходимо заполнить правила определения значения синусов

- до угла 42? значение синуса угла будет равно:«Угол «?2» разделить на 60»